Das Duhamelsche Integral bzw. Faltungsintegral

Durch die Benützung der Laplace-Transformation werden die folgenden Beziehungen in praktischen Rechnungen kaum benötigt. Trotzdem ist das Prinzip der Faltung für das Verständnis linearen Systemverhaltens grundlegend. Für ein System und sein Eingangssignal seien folgende Voraussetzungen erfüllt.

Der zeitliche Verlauf der Eingangsgröße ist ein allgemeines deterministisches Signal.
Der zeitliche Verlauf der Eingangsgröße ist bekannt und analytisch darstellbar.
Der zeitliche Verlauf der Gewichtsfunktion des Systems ist bekannt und analytisch darstellbar.

In diesem Fall kann der zeitliche Verlauf der Ausgangsgröße mit dem Duhamelschen Integral bzw. Faltungsintegral (kurz "Faltung") berechnet werden.Die wesentlichen Nachteile dieses Verfahrens bestehen in...

...der Voraussetzung, daß der zeitliche Verlauf der Gewichtsfunktion eines Systems bekannt sein muß.
...der Auswertung eines Integrals, die leicht zu aufwendigen Rechenoperationen führen kann.

Hier schafft die Laplace-Transformation Abhilfe Beispiel
gegeben: Differentialgleichung, die ein Übertragungssystem beschreibt....

1. Klassifikation der Differentialgleichung
2. Ordnung des Systems
3. Klassfikation des Systems
Die Lösungen können durch bloße Betrachtung des Differentialgleichung ermittelt werden.

1. Die Differentialgleichung besitzt konstante Koeffizienten, die zeitunabhängig sind. Es liegt eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung vor. 2. Ordnung des Systems = Ordnung der Differentialgleichung = Grad der höchsten zeitlichen Ableitung der Ausgangsgröße = 3 3. Es handelt sich bei dem durch die gegebene Differentialgleichung beschriebenen System um ein LTI-System mit der Ordnung 3.